Xs n, ˆ ) 1 ( σ – HP Calculatrice graphique HP 49g Manuel d'utilisation
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La quantité
∑
=
−
=
⋅
−
n
i
i
X
X
S
n
1
2
2
2
,
)
(
ˆ
)
1
(
σ
a une distribution
χ
n-1
2
(chi-carré)
avec
ν = n-1 degrés de liberté. L’intervalle de confiance bilatéral (1-α)⋅100 %
est trouvé à partir de
Pr[
χ
2
n-1,1-
α
/2
< (n-1)
⋅S
2
/
σ
2
<
χ
2
n-1,
α
/2
] = 1-
α.
L’intervalle de confiance pour la variance de la population
σ
2
est par
conséquent
[(n-1)
⋅S
2
/
χ
2
n-1,
α
/2
; (n-1)
⋅S
2
/
χ
2
n-1,1-
α
/2
].
où
χ
2
n-1,
α
/2
, et
χ
2
n-1,1-
α
/2
sont les valeurs qu’une variable
χ
2
avec
ν = n-1 degrés
de liberté, excède avec des probabilités respectives de
α/2 et 1- α /2.
La limite de confiance unilatérale supérieure pour
σ
2
est définie comme (n-
1)
⋅S
2
/
χ
2
n-1,1-
α
.
Exemple 1 – Déterminez l’intervalle de confiance de 95% pour la variance de
population
σ
2
basé sur les résultats à partir d’un échantillon de taille n = 25
qui indique que la variance de l’échantillon est s
2
= 12.5.
Au Chapitre 17 nous utilisons la résolution numérique pour résoudre
l’équation
α = UTPC(γ,x). Dans ce programme, γ représente les degrés de
liberté (n-1) et
α représente la probabilité d’excéder une certaine valeur de x
(
χ
2
), soit Pr[
χ
2
>
χ
α
2
] =
α.
Pour l’exemple présent,
α = 0.05, γ = 24 et α = 0.025. La résolution de
l’équation a présenté les exemples ci-dessus dans
χ
2
n-1,
α
/2
=
χ
2
24,
0.025
=
39.3640770266.
D’un autre côté, la valeur
χ
2
n-1,
α
/2
=
χ
2
24,
0.975
est calculée en utilisant les valeurs
γ = 24 et α = 0.975. Le résultat est χ
2
n-1,1-
α
/2
=
χ
2
24,
0.975
= 12.4011502175.
Les limites inférieures et supérieures de l’intervalle seront (Utilisez le mode
ALG) :
(n-1)
⋅S
2
/
χ
2
n-1,
α
/2
= (25-1)
⋅12.5/39.3640770266 = 7.62116179676