HP Calculatrice graphique HP 49g - Manuel (Page 587)

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L’équation de Cauchy ou d’Euler
Une équation de forme x 2 ⋅(d 2 y/dx 2 ) + a ⋅x⋅ (dy/dx) + b⋅y = 0, où a et b sont
des réels constants, est connue sous le nom d’équation de Cauchy ou d’Euler.
On peut trouver une solution à l’équation de Cauchy en supposant que y (x) =
x
n . Saisir l’équation ainsi: ‘x^2*d1d1y(x)+a*x*d1y(x)+b*y(x)=0’ `
Ensuite, saisir et substituer la solution suggérée: ‘y(x) = x^n’ ` @SUBST
Le résultat est : ‘x^2*(n*(x^(n-1-1)*(n-1)))+a*x*(n*x^(n-1))+b*x^n =0, qui se
simplifie en ‘n*(n-1)*x^n+a*n*x^n+b*x^n = 0’. La division par x^n produit
une équation algébrique auxiliaire : ‘n*(n-1)+a*n+b = 0’ ou
0 ) 1 ( 2 = + ⋅ − + b n a n
.
• si l’équation a deux racines différentes, disons n
1
et n
2
, alors la solution
générale de cette équation est y(x) = K
1
⋅x n
1
+ K
2
⋅x n
2
;
• si b = (1-a) 2 /4, alors l’équation a une double racine
n
1
= n
2
= n = (1-a)/2 et la solution s’avère être y(x) = (K
1
+ K
2
⋅ln x)x n .
Equation de Legendre
Une équation de forme (1-x 2 ) ⋅(d 2 y/dx 2 )-2 ⋅x⋅ (dy/dx)+n⋅ (n+1) ⋅y = 0, où n est
un nombre réel, est connue sous le nom d’équation différentielle de Legendre.
Toute solution à cette équation est connue sous le nom de fonction de
Legendre. Quand n est un entier non négatif, les solutions sont appelées
polynômes de Legendre. Un polynôme de Legendre d’ordre n est donné par
m n
M
m
n
m
n
x
m n m n m
m n
x P 2
0
)! 2 ( )! ( ! 2
)! 2 2 (
) 1 ( ) ( −
=
∑
⋅
− ⋅ − ⋅ ⋅
−
⋅ − =
.. ...
)! 2 ( )! 1 ( ! 1 2
)! 2 2 (
) ! ( 2
)! 2 (
2
2
− + ⋅
− − ⋅ ⋅
−
− ⋅
⋅
= − n
n
n
n
x
n n
n
x
n
n
où M = n/2 ou (n-1)/2 quel qu’il soit, est un entier.