HP Calculatrice graphique HP 49g - Manuel (Page 517)

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à la première variable indépendante, à savoir x" ou d1z(x(t),y(t)) = ∂z/∂x. De
même, d2z(x(t),y(t)) =
∂z/∂y. Par conséquent, l’expression ci-dessus doit être
interprétée comme :
dz/dt = (dy/dt) ⋅ ( ∂z/∂y) + (dx/dt) ⋅( ∂z/∂x).
Différentielle totale d’une fonction z = z(x,y)
Partant de la dernière équation, si nous la multiplions par dt, nous obtenons la
différentielle totale de la fonction z = z(x,y), à savoir : dz =
( ∂z/∂x) ⋅ dx +
( ∂z/∂y) ⋅ dy.
Une version différente de la formule de dérivation s’applique aux cas pour
lesquels z = f(x,y), x = x(u,v), y = y(u,v), de telle sorte que z = f[x(u,v), y(u,v)].
Les formules suivantes représentent des formules de dérivation dans cette
situation :
v
y
y
z
v
x
x
z
v
z
u
y
y
z
u
x
x
z
u
z
∂
∂
⋅
∂
∂
+
∂
∂
⋅
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
⋅
∂
∂
+
∂
∂
⋅
∂
∂
=
∂
∂
,
Déterminer les extrêmes de fonctions à deux variables
Afin que la fonction z = f(x,y) puisse avoir un point extrême (extrêmum) à
(x
o
,y
o
), ses dérivées ∂f/∂x et ∂f/∂y doivent disparaître à ce point. Il s’agit de
conditions nécessaires. Les conditions suffisantes pour que la fonction ait un
point extrême au point (x
o
,y
o
) sont ∂f/∂x = 0, ∂f/∂y = 0 et ∆ = (∂ 2 f/ ∂x 2 )
⋅
( ∂ 2
f/ ∂y 2
)-[ ∂ 2
f/ ∂x∂y] 2 > 0. Le point (x
o
,y
o
) est un maximum relatif si ∂ 2
f/ ∂x 2
< 0,
ou un minimum relatif si ∂ 2 f/ ∂x 2 > 0. La valeur ∆ est appelée discriminant.
Si
∆ = (∂ 2
f/ ∂x 2
)
⋅
( ∂ 2
f/ ∂y 2
)-[ ∂ 2
f/ ∂x∂y] 2 < 0, nous avons une condition connue
comme point selle, où la fonction atteindrait un maximum de x si nous
maintenions y constant, tout en atteignant en même temps un minimum si nous
maintenions x constant ou vice-versa.
Exemple 1 – Déterminons les points extrêmes (s’ils existent) des fonctions