Integrales multiples, Intégrales multiples, Dx x f ) – HP Calculatrice graphique HP 49g Manuel d'utilisation
Page 520: Dydx y x dydx y x da y x, Φ φ φ
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Les variables s1 et s2, à ce stade, contiennent, respectivement les vecteurs
[‘X=-1’,’Y=0] et [‘X=1’,’Y=0]. La matrice Hessienne est au niveau 1 à ce stade.
‘H’
K
Enregistrer la matrice Hessienne
J @@@H@@@ @@s1@@ SUBST ‚ï
Substituer s1 dans H
La matrice résultante A contient a
11
éléments a
11
=
∂
2
φ/∂X
2
= -6., a
22
=
∂
2
φ/∂X
2
= -2., et a
12
= a
21
=
∂
2
φ/∂X∂Y = 0. Le discriminant, pour ce point
critique s1(-1,0) est
∆ = (∂
2
f/
∂x
2
)
⋅
(
∂
2
f/
∂y
2
)-[
∂
2
f/
∂x∂y]
2
= (-6.)(-2.) = 12.0 > 0.
Puisque
∂
2
φ/∂X
2
<0, le point s1 représente un maximum relatif.
Ensuite, nous allons substituer le deuxième point, s2, dans H :
J @@@H@@@ @@s2@@ SUBST ‚ï
Substituer s2 dans H
La matrice résultante contient les éléments a
11
=
∂
2
φ/∂X
2
= 6., a
22
=
∂
2
φ/∂X
2
=
-2. et a
12
= a
21
=
∂
2
φ/∂X∂Y = 0. Le discriminant, pour ce point critique
s2(1,0) est
∆ = (∂
2
f/
∂x
2
)
⋅
(
∂
2
f/
∂y
2
)-[
∂
2
f/
∂x∂y]
2
= (6.)(-2.) = -12.0 < 0, indiquant
un point selle.
Intégrales multiples
Une interprétation physique d’une intégrale classique,
∫
b
a
dx
x
f
)
(
consiste en
la zone sous la courbe y = f(x) d’abscisses x = a et x = b. La généralisation à
trois dimensions d’une intégrale classique est une intégrale double d’une
fonction f(x,y) sur une région R sur le plan x-y représentant le volume d’un
corps solide contenu sous la surface f(x,y) au-dessus de la région R. La région
R peut être décrite ainsi : R = {a<x<b, f(x)<y<g(x)} ou encore R = {c<y<d,
r(y)<x<s(y)}. Par conséquent, l'intégrale double peut être écrite
∫ ∫
∫ ∫
∫∫
=
=
d
c
y
s
y
r
b
a
x
g
x
f
R
dydx
y
x
dydx
y
x
dA
y
x
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
φ
φ
φ