HP Calculatrice graphique HP 39g - Manuel (Page 106)

106 Chapitre 5 – Exercices trait´es avec la HP40
− e) b
n
et c
n
sont premiers entre eux.
Ici, la calculatrice n’est l` a que pour faire des essais pour
diff´erentes valeurs de n...
Pour montrer que c
n
et b
n
sont premiers entre eux il suffit
de remarquer que :
c
n
= b
n
+ 2
Ainsi, les diviseurs communs ` a c
n
et b
n
sont les diviseurs
communs ` a b
n
et 2 et sont aussi, les diviseurs communs
` a c
n
et 2. b
n
et 2 sont premiers entre eux car b
n
est un
nombre premier diff´erent de 2. Donc
P GCD(c
n
, b
n
) = P GCD(c
n
, 2) = P GCD(b
n
, 2) = 1
2. On consid`ere l’´equation :
b
3
· x + c
3
· y = 1
− a) Il y a au moins une solution car il s’agit de l’identit´e de
B´ezout.
En effet, le th´eor`eme de B´ezout dit :
Si a et b sont premiers entre eux, il existe x et y v´erifiant :
a
· x + b · y = 1
Donc, l’´equation :
b
3
· x + c
3
· y = 1
a au moins une solution.
− b) On tape :
IEGCD(B(3), C(3))
On obtient :
1000 AND
− 999 = 1
ce qui veut dire que l’on a :
b
3
× 1000 + c
3
× (−999) = 1
on a donc une solution particuli` ere :
x = 1000, y =
−999.
`
A la main, on ´ecrit :
c
3
= b
3
+ 2 et b
3
= 999
× 2 + 1
donc, b
3
= 999
× (c
3
− b
3
) + 1 ainsi :
b
3
× 1000 + c
3
Ч (−999) = 1